Mật độ phổ chéo (CSD- cross-spectral density) là một trong số các hàm đồ thị nâng cao được sử dụng để so sánh các tín hiệu. Cụ thể, nó hiển thị sự phân bố công suất cho một cặp tín hiệu trên phổ tần số trên miền thời gian. Thông tin này có thể được sử dụng để xác định ảnh hưởng của một tín hiệu trong mối quan hệ với tín hiệu khác.
Nội dung
Nói một cách đơn giản, CSD có thể được sử dụng để tìm các tần số cộng hưởng lẫn nhau trong một cặp tín hiệu. Nó cho thấy hai tín hiệu tương quan (“có liên quan”, “được kết nối về mặt thống kê”, “bị ảnh hưởng”) có liên quan đến một tín hiệu khác như thế nào.
Tùy chọn phân tích mật độ phổ chéo
Liên kết với mật độ phổ công suất (PSD)
Mật độ phổ chéo có thể nhắc bạn nhớ đến một thuật ngữ khác được sử dụng thường xuyên trong thử nghiệm rung động: mật độ phổ công suất (PSD). PSD đại diện cho sự phân bố của một tín hiệu trên một phổ tần số. Cường độ hay công suất của PSD là giá trị bình phương trung bình của tín hiệu.
Mật độ phổ chéo cung cấp thông tin tương tự như PSD nhưng trình bày nó dưới dạng thống kê cho một cặp tín hiệu. Vì tên mật độ phổ công suất không bao gồm đại lượng đo, nên từ công suất có thể được thay thế bằng tên của đại lượng đo, chẳng hạn như gia tốc.
Trong trường hợp này, tương quan chéo được sử dụng để xác định sức mạnh của cặp tín hiệu, do đó là từ chéo(cross). CSD cũng có thể được gọi là mật độ phổ công suất chéo.
Tương tự như PSD, CSD là một hàm của tần số. Tuy nhiên, CSD được sử dụng để mô tả mối quan hệ giữa hai tín hiệu, trong khi PSD được giới hạn ở một tín hiệu. Tuy nhiên, trong một số trường hợp, CSD và PSD tương đương nhau. Nếu hai tín hiệu (x, y) được CSD phân tích giống nhau (x = y) thì CSD giống với PSD. Cũng như với PSD, không thể biết được CSD thực sự nhưng có thể ước tính được.
Về bản chất, CSD giống như PSD ngoại trừ tín hiệu có thể được so sánh với một tín hiệu khác chứ không phải chính nó.
Thuộc tính thống kê của mật độ phổ chéo (CSD)
Biểu đồ CSD hiển thị công suất của một cặp tín hiệu được nhân trong miền tần số trên một dải tần xác định (còn được gọi là phổ). Vùng dưới đường cong CSD từ tần số f1 (đầu vào) đến tần số f2 (đầu ra) biểu thị công suất phổ (RMS- the spectral power) của đầu vào được chiếu tới đầu ra trong dải tần đó.
CSD là một thuộc tính thống kê cho một cặp tín hiệu ngẫu nhiên. Nó chỉ ra khả năng phân phối công suất trên toàn phổ trên miền thời gian. CSD là một hàm của tần số có thể thay đổi theo thời gian. Thật vậy, các đặc tính thống kê của một cặp tín hiệu đầu ra có thể thay đổi theo thời gian nếu vật thử thay đổi (ví dụ: biến dạng hoặc mỏi kim loại) hoặc nếu tín hiệu đầu vào của máy lắc thay đổi, chẳng hạn như trong quá trình thử nghiệm va đập.
CSD của một cặp tín hiệu là phép biến đổi Fourier của mối tương quan chéo của cặp tín hiệu. Biến đổi Fourier có thể là biến đổi Fourier thời gian rời rạc, biến đổi Fourier rời rạc, hoặc biến đổi Fourier nhanh (FFT-fast Fourier transform).
Chức năng tương quan chéo
Tương quan chéo là tín hiệu thứ ba so sánh sự dịch chuyển của hai tín hiệu đầu vào so với nhau. Đó là một thống kê ước tính dựa trên dữ liệu lấy mẫu. Hàm tương quan chéo được định nghĩa là:
Cxy(n, n+m) = E [x(n).y(n+m)]
trong đó E [x (n).y(n+m)] là giá trị kỳ vọng của một biến ngẫu nhiên Z = x (n) y (n + m). Giá trị kỳ vọng được xác định theo hàm mật độ xác suất của Z, chẳng hạn như phân phối Gaussian, phân phối Rayleigh, v.v.
Nếu các thuộc tính thống kê không thay đổi theo thời gian, thì mối tương quan chéo trong thời gian đó là cố định. Kết quả là, hàm tương quan chéo có thể được đơn giản hóa thành C_xy (m) = E [x (0) y (m)] vì các đặc tính thống kê phụ thuộc vào chênh lệch thời gian m hơn là thời gian tuyệt đối n.
Như đã đề cập trước đây, giá trị CSD thực không thể được biết nhưng có thể được ước tính nếu dữ liệu là cố định (tức là CSD không thay đổi theo thời gian.)
Ước tính bằng cách lấy mẫu
Có một số phương pháp ước tính CSD sử dụng lấy mẫu. Một trong những phương pháp phổ biến nhất là phương pháp của Welch, dựa trên bài báo, “Việc sử dụng phép biến đổi Fourier nhanh để ước tính phổ công suất: Một phương pháp dựa trên thời gian lấy trung bình trên các biểu đồ chu kỳ ngắn, đã được sửa đổi” (Welch, 1967).
Phương pháp của Welch chia chuỗi dữ liệu thành các khung phân tích có độ dài bằng nhau (các khung có thể chồng lên nhau.) FFT được áp dụng cho mỗi khung và cặp x (n), y (n) của phép toán FFT được nhân với nhau. Các phân đoạn FFT được nhân lên được tính trung bình để mang lại CSD ước tính.
Một kỹ sư thử nghiệm có thể yêu cầu hiểu rõ hơn về mối quan hệ rung động phức tạp giữa hai tín hiệu. Ví dụ, trong một hệ thống nhiều trục, dao động ở một trục có thể ảnh hưởng đến dao động ở trục khác.
CSD cho biết ảnh hưởng của tín hiệu x so với tín hiệu y. Khi so sánh tín hiệu từ hai nguồn, có thể có độ trễ thời gian trong phép đo. Do đó, cũng sẽ có sự lệch pha giữa hai tín hiệu. Do đó, CSD chứa dữ liệu về sự khác biệt trong biên độ và pha của hai tín hiệu.
Kiểm tra đa trục
CSD đặc biệt có lợi khi nghiên cứu các hệ thống nhiều trục. Mục đích của biểu đồ CSD là xác định xem có mối quan hệ giữa hai biến hay không và biểu đồ gắn kết giúp định lượng mối quan hệ giữa chúng.
Ví dụ, hãy xem xét hệ thống nhiều trục sau:
Một kỹ sư đã thử nghiệm sản phẩm trên hệ thống máy thử nghiệm rung xóc theo trục X, Y và Z. Khi sản phẩm rung lên, xảy ra chuyển động quay hoặc lắc lư. Kỹ sư thử nghiệm có thể hỏi, "rung động ở trục X có mối quan hệ nào với rung động ở trục Y không?" Nếu vậy, mỗi khi sản phẩm rung theo trục X, nó cũng sẽ có thành phần trục Y. Kỹ sư thử nghiệm có thể sử dụng CSD và các âm mưu liên kết để xác định mối quan hệ giữa các chuyển động.
Hình 1 chứa ba đồ thị CSD trong đó ba trục tuyến tính được so sánh với ổ đĩa. Trong biểu đồ đầu tiên, gia tốc của ba trục được so sánh với gia tốc của ổ đĩa trên trục X. Trong thứ hai, chúng được so sánh với gia tốc truyền động trên trục Y; trong thứ ba, trục Z.
Hình 1. Biểu đồ mật độ phổ chéo cho một hệ thống nhiều trục.
Trong biểu đồ trên cùng, trục X (vết đen) và gia tốc truyền động dao động tương tự trên miền tần số, ngoại trừ sự cộng hưởng xung quanh 300Hz. Ở 800Hz, trục X và trục Y (dấu vết màu hồng) có cùng tỷ lệ so với tín hiệu truyền động. Rung động tác động lên trục X cũng đồng thời ảnh hưởng đến trục Y. Biến tần đáng lẽ chỉ ảnh hưởng đến chuyển động của trục X, điều này cho thấy hệ thống có vấn đề. Trong ô thứ ba, trục Z (dấu vết màu xanh lá cây) có tỷ lệ tín hiệu truyền động khác với trục X và trục Y. Các dao động trên quang phổ dự định ảnh hưởng đến trục Z không ảnh hưởng đến trục X hoặc Y.
Việc kiểm tra biểu đồ gắn kết cho cùng một tập dữ liệu dẫn đến một kết luận tương tự (Hình 2). Trong biểu đồ trên cùng, giá trị tương quan là 1 đối với phần lớn phổ tần số. Giá trị này chỉ ra rằng trục X rung hoàn toàn với ổ đĩa ngoại trừ cộng hưởng 300Hz và 800Hz.
Hình 2: Biểu đồ mạch lạc cho một hệ thống nhiều trục.
Ở 800Hz, trục Y tương quan với ổ đĩa hơn trục X, có nghĩa là dao động của nó giống nhau hơn. Mối tương quan này cho thấy có vấn đề với độ rung của sản phẩm. Các rung động dự định ảnh hưởng đến trục X đang ảnh hưởng đến trục Y mạnh hơn ở tần số đó. CSD và các âm mưu mạch lạc gợi ý kỹ sư thử nghiệm về vấn đề này trên máy lắc nhiều trục.
CSD có thể được sử dụng để tìm các tần số cộng hưởng lẫn nhau cho một cặp tín hiệu và cũng có thể được sử dụng để xác định thông tin sau:
Xem thêm các sản phẩm máy thử nghiệm rung xóc
Tiếng Việt
English
